投稿者: 恭平

可解群（solvable group）とは、群に対して交換子群列を作った時に
Ｄ_ｋ(Ｇ)＝｛ｅ｝【単位元だけからなる群】となる自然数ｋが存在する群Ｇの事です。以下、Ｄ(Ｇ)（＝Ｄ_１(Ｇ)）はＧの交換子群で、Ｄ_２(Ｇ)＝Ｄ(Ｄ_１(Ｇ))、Ｄ_３(Ｇ)＝Ｄ(Ｄ_２(Ｇ))、・・・等とします。

可解群の性質７つ

可解群のいくつかの重要な性質をまとめると次のようになります。

以下、証明をしていきます。

①可換である群は全て可解群

まず最初は簡単です。
｛ｅ｝の交換子を作ってもｅにしかならないので、交換子群列は一度｛ｅ｝になるとその先の交換子群はずっと｛ｅ｝です。可換群はそもそも任意の交換子が単位元ｅであるわけですから、「可換群は可解群である」と言えます。

②可解群の部分群も可解群

２番目については集合としての包含関係を丁寧に見て行きます。
交換子についてＨがＧの部分群であれば、Ｇの交換子群にはＨの元で作った交換子も全て含まれるので、Ｄ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｈ)です。【交換子群列の中ではこれはＤ_１(Ｇ)およびＤ_１(Ｈ)】
すると、今度はＤ(Ｇ)の交換子群とＤ(Ｈ)の交換子群についても同じ事が言えるわけですから、Ｄ_２(Ｇ)⊃Ｄ_２(Ｈ)です。
以下同様にして任意の自然数ｊについてＤ_ｊ(Ｇ)⊃Ｄ_ｊ(Ｈ)です。
ここで、Ｇが可解群であればＤ_ｋ(Ｇ)＝｛ｅ｝となるｋが存在するので、
その番号において｛ｅ｝⊃Ｄ_ｋ(Ｈ)であり、
それを満たせるのは同じく単位元だけからなる群しかないのでＤ_ｋ(Ｈ)＝｛ｅ｝であり、従ってＨも可解群である事を意味します。

③可解群の剰余群も可解群

３番目は、剰余類と剰余群の性質を丁寧に扱う必要があります。
次にＮをＧの正規部分群として剰余群Ｇ／Ｎの交換子を考えます。
Ｇの元ｘとｙを使って、交換子群Ｄ(Ｇ／Ｎ)の元は
(Ｎｘ)^－１(Ｎｙ)^－１(Ｎｘ)(Ｎｙ)＝Ｎ(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ) と書けます。
【Ｄ(Ｇ／Ｎ)もまた剰余類を元とする群であり、Ｎ＝Ｎｅを単位元とする。】
ここで２つの元の積を元とする別の群ＮＤ(Ｇ)＝｛ｎｂ｜ｎ∈Ｎ，ｂ∈Ｄ(Ｇ)｝を考えると、
これはＮを正規部分群に持つ群となりＮによる剰余群を定義できます。
【※一般に、ＨがＧの部分群で\(G\triangleright N\)である時、ＮはＮＨの部分群であり、任意のｓ∈ＮＨ（⊂Ｇ）に対してｓＮ＝Ｎｓとなる（任意のｔ∈Ｇに対してそうだから）ので、ＮはＮＨの正規部分群。
このタイプの群に対する剰余群は、(ＮＨ)／Ｎの事をＮＨ／Ｎのように書きます。】
剰余群ＮＤ(Ｇ)／Ｎの元はＮ(ｎｂ)＝(Ｎｎ)ｂですが、
Ｎが群でｎ∈Ｎに対してＮｎは集合としてはＮとして全く同じ物になるので、Ｎ(ｎｂ)＝Ｎｂ＝Ｎ(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)
よって、全く同じ元を持つのでＤ(Ｇ／Ｎ)＝ＮＤ(Ｇ)／Ｎ
他方、Ｄ(Ｇ／Ｎ)の元ｕとｗを使うとＤ_２(Ｇ／Ｎ)＝Ｎ(ｕ^－１ｗ^－１ｕｗ) ですが、
剰余群ＮＤ_２(Ｇ)／Ｎの元は先ほどと同じくｎ∈Ｎを考えると
Ｎ(ｎｕ^－１ｗ^－１ｕｗ)＝(Ｎｎ)(ｕ^－１ｗ^－１ｕｗ)＝Ｎ(ｕ^－１ｗ^－１ｕｗ) となり、
Ｄ_２(Ｇ／Ｎ)＝ＮＤ_２(Ｇ)／Ｎ という事にもなります。
全く同じ論法で、任意の自然数ｊに対してＤ_ｊ(Ｇ／Ｎ)＝ＮＤ_ｊ(Ｇ)／Ｎ が成立します。
すると Ｄ_ｋ(Ｇ)＝｛ｅ｝となるｋにおいて、
ＮＤ_ｋ(Ｇ)／Ｎ の元はＮ(ｎｅ)＝Ｎｅ＝Ｎ【剰余群の単位元】ただ１つという事になり、
Ｄ_ｋ(Ｇ／Ｎ)＝ＮＤ_ｋ(Ｇ)／Ｎ＝Ｎ となってＧ／Ｎも可解群であるという結果になります。

④正規部分群Ｎと剰余群Ｇ／Ｎが共に可解群 ⇒ Ｇも可解群

次に４番目の性質ですが、これも１つ１つの式を丁寧に紐解きます。
Ｇ／ＮとＮが共に可解群である場合には、
①：Ｄ_ｋ１(Ｇ／Ｎ)＝Ｎｅ＝Ｎ　かつ
②：Ｄ_ｋ２(Ｎ)＝｛ｅ｝
となる自然数ｋ_１とｋ_２が存在します。
この時、前述において示した事からＤ_ｋ１(Ｇ／Ｎ)＝ＮＤ_ｋ１(Ｇ)／Ｎ であるわけですが、
Ｄ_ｋ１(Ｇ／Ｎ)＝ＮですからＮ＝ＮＤ_ｋ１(Ｇ)／Ｎという事になり、
実はＤ_ｋ１(Ｇ)⊂Ｎが成立しています。
【※ｎ∈Ｎおよびｂ∈Ｄ_ｋ１(Ｇ)として、ＮＤ_ｋ１(Ｇ)／Ｎの元Ｎ(ｎｂ)＝Ｎｂ は集合としてＮに等しくならないといけないので、ｂはＮの元である必要があります。それがＤ_ｋ１(Ｇ)⊂Ｎの意味です。】
すると、Ｄ_ｋ２(Ｎ)⊃Ｄ_ｋ２(Ｄ_ｋ１(Ｇ)) です。
ここで、Ｄ_ｋ２(Ｄ_ｋ１(Ｇ))とは
「すでにＧから始めてｋ_１回交換子を作る演算を行ってできた交換子群に対し、
そこを起点として改めてｋ_２回交換子を作る演算を行ってできた交換子群」です。
従って、Ｇから始めて(ｋ_１＋ｋ_２)回の交換子を作る演算を行ったＤ_{ｋ１＋ｋ２}(Ｇ)に等しいという事です。
よってＤ_ｋ２(Ｎ)⊃Ｄ_ｋ２(Ｄ_ｋ１(Ｇ))＝Ｄ_{ｋ１＋ｋ２}(Ｇ)であり、
Ｄ_ｋ２(Ｎ)＝｛ｅ｝でしたから、｛ｅ｝⊃Ｄ_{ｋ１＋ｋ２}(Ｇ) であり、
これを満たすにはＤ_{ｋ１＋ｋ２}(Ｇ)＝｛ｅ｝しかあり得ず、それを満たす自然数ｋ_１＋ｋ_２が存在する事になります。よって、おおもとの群Ｇも可解群である事になります。

この４番目の性質について、特に次のような特別な場合には１つの命題が成立します。
以下、Ｈ_ｊは群であるとします。

$$H_n\triangleright H_{n-1}\triangleright H_{n-2} \triangleright \cdots H_3\triangleright H_2\triangleright H_1\triangleright \{e\}$$

ここで、もし\(H_{j+1}\triangleright H_j\) が任意の自然数ｊについて成立し、剰余群Ｈ_ｊ＋１／Ｈ_ｊが可解群であり、
またＨ_１も可解群であったとしましょう。

そのような特別な場合が発生する時、Ｈ_１が可解群であり、Ｈ_２／Ｈ_１も可解群ですからＨ_２も可解群です。
そしてＨ_３／Ｈ_２も可解群なので、Ｈ_３も可解群です。
同様にして、任意の自然数ｊについてＨ_ｊは可解群という事になります。
より具体的には、例えば剰余群Ｈ_ｊ＋１／Ｈ_ｊが巡回群であれば可換群ですから可解群という事にもなります。そのようなタイプの群は、ベキ根で解ける多項方程式のガロア群を論じる時に出てきたりします。

⑤剰余群Ｇ／Ｎが可換群 ⇔ ＮがＤ(Ｇ)を含む事

【これは交換子群一般について言えます。性質として特に可解群に関係が深いです。】
５番目の性質については、まずＧ／Ｎの元の積を順番を変えて書いてみます。
ｘとｙをＧの元として、
(Ｎｘ)(Ｎｙ)＝Ｎ(ｘｙ) と(Ｎｙ)(Ｎｘ)＝Ｎ(ｙｘ) の２パターンありますが、
もしＮ(ｘｙ)＝Ｎ(ｙｘ)であるのなら
【※ここでの括弧は分かりすくするためにつけているだけで、Ｎｘｙ＝Ｎｙｘと書いても同じ】
ｙ^－１ｘ^－１を右から乗じる事によって
Ｎ(ｘｙｙ^－１ｘ^－１)＝Ｎ(ｙｘｙ^－１ｘ^－１) ⇔ Ｎ＝Ｎ(ｙｘｙ^－１ｘ^－１)
これが成立するためには、ｙｘｙ^－１ｘ^－１がＮの元でなければなりませんが、
ｙｘｙ^－１ｘ^－１はＧの交換子です。
【ｙｘｙ^－１ｘ^－１の逆元はｘｙｘ^－１ｙ^－１】
よって、Ｇ／Ｎが可換という事は任意のＤ(Ｇ)の元が例外なくＮの元でもある事、
つまりＤ(Ｇ)⊂Ｎを意味します。
逆にＤ(Ｇ)⊂Ｎならば
Ｎ＝Ｎ(ｙｘｙ^－１ｘ^－１) ⇔ Ｎ(ｘｙｙ^－１ｘ^－１)＝Ｎ(ｙｘｙ^－１ｘ^－１) のように逆にたどって、
右側からｘｙを乗じればＮ(ｘｙ)＝Ｎ(ｙｘ)となり、剰余群Ｇ／Ｎは可換である事になります。

⑥交換子群列の隣り合う交換子群の剰余群は可換

６番目の性質については、交換子群列において例えばＤ_２(Ｇ)⊃Ｄ_３(Ｇ)のような包含関係があり、
しかもそれらは群と正規部分群の関係にあって\(D_2(G)\triangleright D_3(G)\) のようになっています。
そこで剰余群Ｄ_２(Ｇ)／Ｄ_３(Ｇ)の可換性を調べてみると、
Ｄ_３(Ｇ)とは「Ｄ_２(Ｇ)の交換子群」なのでＤ_３(Ｇ)＝Ｄ(Ｄ_２(Ｇ)) とも書けます。
集合が（群も含めて）等号で結ばれるという事は
「Ｄ_３(Ｇ)⊃Ｄ(Ｄ_２(Ｇ))かつＤ_３(Ｇ)⊂Ｄ(Ｄ_２(Ｇ))」という事ですから、
【上述の５番目の性質により】Ｄ_３(Ｇ)⊃Ｄ(Ｄ_２(Ｇ)) ⇔「Ｄ_２(Ｇ)／Ｄ_３(Ｇ) は可換である」事になります。
同じように任意の自然数ｊとｊ＋１の交換子群についても
Ｄ_ｊ(Ｇ)＝Ｄ(Ｄ_ｊ＋１(Ｇ)) ⇒ Ｄ_ｊ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｄ_ｊ＋１(Ｇ))
⇔「Ｄ_ｊ(Ｇ)／Ｄ_ｊ＋１(Ｇ) は可換である」という事が言えます。
可解群の場合、最後｛ｅ｝になっている部分についても同様に
｛ｅ｝＝Ｄ(Ｄ_ｋ－１(Ｇ)) からＤ_ｋ－１(Ｇ)／｛ｅ｝＝Ｄ_ｋ－１(Ｇ) が可換であるという事が言えます。
【｛ｅ｝＝Ｄ(Ｄ_ｋ－１(Ｇ))という事自体から、
交換子群の性質によりＤ_ｋ－１(Ｇ)の任意の要素は可換であるとも言えます。】

あるいは、交換子群の性質により「Ｇ／Ｄ(Ｇ)は可換である」と言えるので、
これをＤ_ｊ(Ｇ)／Ｄ_ｊ＋１(Ｇ)にも適用して示す事もできます。本質的に同じ証明です。

⑦２つの定義は同等である事

最後に７番目の性質として、２つの定義が同等である事を示します。
まず、交換子群列のほうの定義の場合での性質からＤ_ｊ＋１(Ｇ)はＤ_ｊ(Ｇ)の正規部分群であり、
剰余群Ｄ_ｊ(Ｇ)／Ｄ_ｊ＋１(Ｇ)は可換であると言えるわけですから、
そのような部分群の列が存在するので
「交換子群列の定義 ⇒ 正規部分群と剰余群の可換性のみの定義」が言えます。

次に逆の場合です。$$G=H_0\triangleright H_1 \triangleright H_2\triangleright H_3\triangleright \cdots\triangleright H_{n-1} \triangleright H_n={e}$$の関係のもとで剰余群Ｈ_ｊ－１／Ｈ_ｊが可換であったとします。
この時には「Ｇ／Ｎが可換群 ⇔ Ｄ(Ｇ)⊂Ｎ」【上記５番目の性質】である事を思い出すと、
「Ｇ／Ｈ_１が可換」なのでＤ(Ｇ)＝Ｄ_１(Ｇ)⊂Ｈ_１という事が言えます。
この時Ｄ(Ｄ_１(Ｇ))⊂Ｄ(Ｈ_１) ⇔ Ｄ(Ｈ_１)⊃Ｄ_２(Ｇ)でもあります。
【Ａ⊂Ｂ ⇒ Ｄ(Ａ)⊂Ｄ(Ｂ) 】
同様に「Ｈ_１／Ｈ_２が可換」なのでＤ(Ｈ_１)⊂Ｈ_２であり、先ほどのＤ(Ｈ_１)⊃Ｄ_２(Ｇ)と合わせると
Ｈ_２⊃Ｄ(Ｈ_１)⊃Ｄ_２(Ｇ)が成立します。
以下、同様にＨ_３⊃Ｄ_３(Ｇ)、Ｈ_４⊃Ｄ_４(Ｇ)_、Ｈ_５⊃Ｄ_５(Ｇ)_、Ｈ_ｊ⊃Ｄ_ｊ(Ｇ)・・・・と続きます。
最後の部分でＤ_ｎ(Ｇ)⊂Ｈ_ｎ＝｛ｅ｝となりますが、これはＤ_ｎ(Ｇ)＝｛ｅ｝を意味します。
よって、交換子群列の中で｛ｅ｝となる交換子群が存在するので
「正規部分群と剰余群の可換性のみの定義 ⇒ 交換子群列の定義」が言えます。
よって、２つの定義は必要十分条件で結ばれるので同等な定義である事になります。

交換子群は多項方程式の可解性（ベキ根で解ける事）との関連性が非常に深い群です。

交換子と交換子群

群Ｇがあって、ｘとｙがその元であるとします。
この時、ｘｙとｙｘは等しいとは限りません。

他方で、ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ という４つの元の積からなる別の元を考えてみて、
これを [ｘ，ｙ] と書く事にして「交換子」(commutator)と呼ぶ事にすると、
[ｘ，ｙ][ｙ，ｘ]＝[ｙ，ｘ][ｘ，ｙ]＝ｅ【単位元】となります。
【[ｙ，ｘ]＝ｙ^－１ｘ^－１ｙｘで、[ｘ，ｙ][ｙ，ｘ]＝ｘ^－１ｙ^－１ｘｙｙ^－１ｘ^－１ｙｘ＝ｅ】
つまり、任意の群の交換子[ｘ，ｙ]と[ｙ，ｘ]は互いに逆元の関係にあなります。

また、次のような性質もあります。
ｙｘ[ｘ，ｙ]＝ｘｙであり、
ｘｙ[ｘ，ｙ]^－１＝ｙｘ　【２番目の式はｘｙ[ｙ，ｘ]＝ｙｘ でも同じ】
であるという関係式が成立します。
【群の逆元の演算規則により、(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)^－１＝ｙ^－１ｘ^－１ｙｘである事に注意】
つまり、右から乗じる（逆元の形も含めて）事で任意の積の順序が入れ替わる作用も持ちます。

ここで、交換子が「単位元ｅに等しい」という場合があり、次の事が成立します。

実際、もとから可換であれば ｘｙ＝ｙｘなので当然ｘｙｅ＝ｙｘという、
一般の交換子が持つ作用と同じ形の関係式が成立するわけです。

そのような交換子の形をした元から成る群（これはＧの部分群になる）を交換子群と言います。
Ｄ(Ｇ)＝｛ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ｜ｘ∈Ｇ，ｙ∈Ｇ｝です。

Ｇの２つの部分群の元を使った交換子群を考える場合には括弧積 [ ] を使った書き方もします。
[Ａ,Ｂ]＝｛ａ^－１ｂ^－１ａｂ｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝【Ａ⊂Ｇ，Ｂ⊂Ｇ】

交換子群の性質

交換子群については、群Ｇの部分群としていくつかの性質があります。

正規部分群とは、Ｇの任意の元に対してｔＮ＝Ｎｔ【集合として同じものになる】
が成立するＧの部分群Ｎの事であり、
剰余群とはＧが正規部分群Ｎを持つ時に定義されるもので、Ｇの元に対する剰余類を元とする群です。
Ｎｘ、Ｎｙを考えた時に、剰余群の積は(Ｎｘ)(Ｎｙ)＝Ｎ(ｘｙ) 、逆元は(Ｎｘ)^－１＝Ｎ(ｘ^－１)と定義します。

◆交換子群の性質の証明：
ｔをＧの任意の元とします。すると
ｔ(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)ｔ＝(ｔ^－１ｘ^－１ｔ)(ｔ^－１ｙ^－１ｔ)(ｔ^－１ｘｔ)(ｔ^－１ｙｔ)
＝(ｔ^－１ｘｔ)^－１(ｔ^－１ｙｔ)^－１(ｔ^－１ｘｔ)(ｔ^－１ｙｔ)∈Ｄ(Ｇ)
【ｔ^－１ｘｔの形の元は交換子の形になっているため】
であり、ｔＤ(Ｇ)ｔ^－１⊂Ｄ(Ｇ)
【これはＤ(Ｇ)がＧ正規部分群であるために十分な条件。】
∴\(G\triangleright D(G)\)

次に、剰余群Ｇ／Ｄ(Ｇ)を考えると剰余類【これが剰余群の元】はＤ(Ｇ)ｘ、Ｄ(Ｇ)ｙなどと書けますが、
Ｇ／Ｄ(Ｇ)の交換子を考えると
(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)(ｘｙ)【これが剰余群の演算の定義】
また、剰余群の逆元についても同様に考えると、
(Ｄ(Ｇ)ｘ)^－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)^－１＝(Ｄ(Ｇ)ｘ^－１)(Ｄ(Ｇ)ｙ^－１)＝Ｄ(Ｇ)(ｘ^－１ｙ^－１)
という事は、剰余群Ｇ／Ｄ(Ｇ)に対する「交換子」は
(Ｄ(Ｇ)ｘ)^－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)^－１(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)
しかしｘ^－１ｙ^－１ｘｙ∈Ｄ(Ｇ)なので、
集合としてＤ(Ｇ)(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)はＤ(Ｇ)に一致します。
Ｄ(Ｇ)そのものは剰余類としてはＤ(Ｇ)ｅ 【ｅはＧの単位元】であるから、
(Ｄ(Ｇ)ｘ)^－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)^－１(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)ｅ　【Ｄ(Ｇ)ｅ＝Ｄ(Ｇ)はＧ／Ｄ(Ｇ)の単位元】
∴任意の元で作った交換子が単位元に等しいのでＧ／Ｄ(Ｇ)は可換。

剰余群Ｇ／Ｈが可換であるなら剰余類【剰余群の元】について
Ｈ＝Ｈe＝Ｈ(ｘ^－１ｘｙ^－１ｙ)＝Ｈ(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)【ｘとｙはＧの元】
つまり、Ｈ(ｘ^－１ｙ^－１ｘｙ)は集合としてＨに等しく、
Ｇの交換子群の任意の元はＨの要素となるため、Ｄ(Ｇ)⊂Ｈ

Ｇの交換子群でない任意の可換な正規部分群は交換子群を含むので、交換子群よりも小さな正規部分群は他にはない。交換子群も可換な正規部分群なので、可換な正規部分群のうち最小のものという事になります。

交換子群列

交換子の理論の中でも、特に多項方程式の可解性に関わるのが交換子群列です。

Ｇの交換子群をＤ(Ｇ)とし、Ｄ(Ｇ)の交換子群をさらにＤ_１(Ｇ)とします。そしてさらにＤ_１(Ｇ)の交換子群を考えてＤ_２(Ｇ)とし、さらにＤ_２(Ｇ)の交換子群をＤ_３(Ｇ)とします。
・・・そういう感じでＤ_ｋ(Ｇ)の交換子群をＤ_ｋ＋１(Ｇ)という形で定義していくと、\(D_k(G)\triangleright D_{k+1}(G)\) となるような群の列ができます。その列を交換子群列と言います。

ところで、そのように交換子群列を次々に続けていった時に、無限に続くのか有限で終わるのかという話があります。これは、続けて行った時に単位元のみからなる｛ｅ｝が現れた時を「終わり」という事にすると、有限で終わるものとそうでないものがあります。

Ｄ_ｋ(Ｇ)＝｛ｅ｝となる自然数ｋが存在する時、おおもとの群Ｇを特に可解群と言います。
なぜそのように呼ぶのかというと、その大きな理由は「多項方程式が『ベキ根で解ける』時、解による拡大のガロア群の交換子群列は有限回で｛ｅ｝で終わる（＝可解群である）」という性質によります。

ところが、５次以上の多項方程式においてそのガロア群は対称群（置換群）であり【正確にはそれと同型】、
実は５次以上の対称群は可解群にならないのです。よって、一般の５次以上の多項方程式は「ベキ根で解ける（＝係数とベキ根を使った解の公式が存在する）」部類の多項方程式に属さない、という命題が成立します。
一般の１～４次方程式のガロア群は可解群になります。

$$可解群：D_k(G)={e}となるようなkが存在する群Ｇ$$

２乗（自乗、平方）の意味と表記

２×２＝４、３×３＝９、４×４＝１６など、
「同じ数を掛け算する事」を「自乗」あるいは「２乗」と言います。
これを２^２＝４、３^２＝９、４^２＝１６のようにも書きます。
「２の２乗（自乗）イコール４」などのように読みます。
また、後に少し触れるように「平方」という言葉も「２乗」の意味で使う事があります。

文字式や関数の場合でも同じで、ｘ^２は「エックスの２乗（自乗）」もしくは「エックス２乗（自乗）」と読み、ｘ・ｘ（ｘとｘとの掛け算）を表します。

• (ｆ(ｘ))² ・・・関数ｆ(ｘ) の２乗
• 三角比および三角関数については、(sinθ)^２は sin^２θと書く。【sin(θ^２)と区別するため】

２乗（自乗、平方）の応用・使われ方

正方形の面積は一辺の長さの２乗になります。
面積の単位をｃｍ^２【平方センチメートル】やｍ^２【平方メートル】のように書くのはそのためです。
（例えば３ｃｍ^２であれば、１ｃｍ^２の正方形の３個分の広さ【面積】という事。）
また、円の面積は円周率と「半径の２乗」の積で表されます。
（※その公式の証明は、円周の長さの公式を半径で積分する、置換積分で計算する、微小な三角形の面積の合計と考えて「円周の長さ」×半径÷２として出す・・等の方法があります。）

そのように、面積を表すのに頻繁に使われる意味でも「２乗」というものは重要な掛け算になります。
直角三角形の斜辺の長さを表す三平方の定理も、ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２という２乗を含む形です。
ここでの「平方」とは「２乗」の意味です。
（※実際、定理の証明の１つでは面積を使います。そこにも２乗が出てくる意味を見出せます。）
これは直交座標上の「距離」を計算するのにも使うので重要な定理です。
それらに関連して、三角比での cos^２θ＋sin^２θ＝１という公式も重要です。

２^２＝４という計算に対し、逆にｘ^２＝４を満たすｘの事を「４の平方根と」言います。
（※そのような平方根となるｘは、＋２と－２の２つが該当します。）
「２乗するとａになる数」をａの「平方根」（あるいは「２乗根」）と言います。

負の数を２乗する場合には、マイナス符号をプラス符号に変えるという計算をします。
つまり、(－１)^２＝＋１という計算をするわけです。
【マイナスを２乗するとプラスになる理由は、それが計算の定義であるからですが、もう少し考察して説明をする事は可能です。】

つまり正の数だろうと負の数だろうと、「２乗すると正の数になる」事は確定するわけです。
（例外は０で、０^２＝０です。また、「虚数単位」はｉ^２＝－１を満たすものとして敢えて定義します。）
そのため、絶対値を２乗する場合には単純に絶対値符号を取り払ってよいという計算になります。
|ｘ|^２＝ｘ^２のように書いてよいという事です。

ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃの形の式をｘに関する「２次式」と言います。
その中のａｘ^２の部分の事を「２次の項（＝『ｘが２乗の形になっている項』）」と呼ぶ事もあります。ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０という形の方程式は「２次方程式」です。

一般のベキ乗（累乗）と指数

同じ数を「３回掛け算する」事は「３乗」すると言います。

つまり、２×２×２＝８、３×３×３＝２７、４×４×４＝６４などの事であり、
それらを２^３＝８、３^３＝２７、４^３＝６４のように表記します。

サイコロのような立方体の体積は「一辺の長さの３乗」で表されます。
それに由来して、単位の体積はｍ^３【立方メートル】やｃｍ^３【立方センチメートル】で表記します。
球の体積は半径の３乗に比例するという公式が成立します。

文字式等に対しても、ｒ^３＝ｒ・ｒ・ｒ　【あるいはｒ×ｒ×ｒ】のように定義します。

４乗や５乗の場合も同じように表記します。

• ２^４＝２×２×２×２＝１６　【２の４乗】
• ２^５＝２×２×２×２×２＝３２　【２の５乗】

このように一般的にａ^ｎ【ｎは自然数「ａのｎ乗」】で表された数を、
ａの「累乗」あるいは「ベキ乗」と呼んだりもします。

ｘ^ｎ＝ａを満たすｘを、ａの「ｎ乗根」と言い、
そのようなｎ乗根一般の事を「累乗根」「ベキ乗根」と呼ぶ事もあります。
例えばｘ^３＝５を満たすｘは「５の３乗根」と呼ばれます。

無限級数展開のうち、ｘ^ｎの形の項が続くものを特に「ベキ級数展開」と呼ぶ事もあります。

$$例えば e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots 等です。$$

◆この例はマクローリン展開。

ｘ^２やｘ^３のようなｘ^ｎの形の単独の式（関数）は「単項式」と呼ぶ事があります。
それらの係数倍を加え合わせた式は「多項式」と呼ばれます。

• 単項式：ｘ^２、ｘ^３、ｘ^４、ｘ^ｎ
• 多項式：１＋２ｘ【１次式】、１＋ｘ＋３ｘ^２【２次式】、１＋ｘ＋ｘ^３【３次式】
  （これらはｘの関数とみなす場合には「１次関数」「２次関数」「３次関数」のようにも呼ばれます。）

１＋ｘ＋ｘ^３ ＝０のような形の方程式は「３次方程式」です。

１＋２ｘ＋ｘ^３＋ｘ^４ ＝０のように、４次の項を含む方程式は「４次方程式」です。

ａ_ｎｘ^ｎ＋ａ_ｎ－１ｘ^ｎ－１＋ａ_ｎ－２ｘ^ｎ－２＋・・・＋ａ_２ｘ^２＋ａｘ＋ａ＝０の形の方程式は
「ｎ次方程式」であり、そのようなｎ次方程式一般を「多項方程式」と呼びます。

ｘ^ａというベキ乗の形の単項式に対して、ａの部分を「指数」と呼びます。
例えばｘ^３の指数は３であり、ｘ^５の指数は５であるといった具合になります。

この「指数」の部分は、数学的には実は自然数でなくてもよく、実数なら何でもあてる事ができます。【また、定義をきちんとすれば複素数を代入する事もできます。（複素数の指数関数表示）】

単項式や多項式の場合と違って、ある数の指数の部分が変数になっているものは指数関数と呼ばれます。（高校の初等関数の１つ。指数関数は対数関数と対になっていて、互いに逆関数の関係にあります。）
それは例えば、２^ｘ【２のｘ乗】やｅ^ｘ【ｅは「自然対数の底」】といった関数であり、高校数学（特に微積分）や理工系の大学の学問でも重要な関数です。

座標変換のうち、理論面でも応用面でも良く使われる極座標と、その3次元版である球面座標について述べます。（※３次元の球面座標の事も極座標と呼ぶ事もあります。）
また合わせて、時々使われる円柱座標についても述べます。

極座標（polar coordinates）の「極」とは英語で言うと pole 、
北極とか南極で使う意味での「極」（「一方の果て」「端、両端」）になります。
尚、球面座標は英語だと spherical polar coordinates です。

基本の考え方：三角関数を使う

極座標の発想自体は簡単で、
「平面座標のある点と原点とを結ぶと、必ず『長さと角度（ｘ軸から測った角度）』で表せるはず」
という事なのです。

例えば、（１，１）という点は原点からの距離が\(\sqrt{2}\)で角度は\(\pi\)／４（あるいは４５°）です。

（－１，１）という点であれば原点からの距離が\(\sqrt{2}\)で角度は３\(\pi\)／４（あるいは１３５°）です。
図で見ると単純で分かりやすいでしょう。

3次元で球面上の点と見なす場合には、後述しますように、原点からの長さに加えて角度を２つ使用します。

変換方法：極座標

実際に変換をする時には、三角関数（図で直感的に考えるなら三角比）を使用します。図を描いてみると次の三点で必ず直角三角形を作れる事に起因します：

1. ある座標の点
2. その点からｘ軸に降ろした垂線の足
3. 原点

そこで、原点からある点までの長さをｒ、ｘ軸から測った角度をθとすると、
三角比の計算というか定義通りに、次の関係が成立します。

この時に、座標が負の値であっても正弦と余弦を三角関数として考えれば、正しく関係が満たされるのです。

また、ｘとｙの値からｒとθを表す事もできます。

• \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
• \(\cos \theta=\Large{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} }\)\(\hspace{10pt}\sin \theta=\Large{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

高校生の方であれば、これらの関係式は暗記するのではなく、ｘとｙの式を２乗して加えるか、図の三角形の関係から直ちに理解できるように努める事が勧められます。

尚、これらの考え方は複素数の極形式の考え方に直結するものとなります。座標の原点回りの回転を考える時には複素数の極形式を使ったほうが良い場合もあります。（※回転に関しては、特にそれを群と見なす時には行列で考えたほうが良い事もあります。いずれの場合も、回転で基本となっているのは加法定理です。）

特定の関数で表された曲線を、極座標で表された点の集まりとして表示する事もできます。

例えばｙ＝ｘ^２を強引に極座標で表すには、ｘ＝ｒcosθとｙ＝ｒsinθをそのまま代入すればよいのです。

すると、ｒsinθ＝ｒ^２cos^２θ　⇔　sinθ＝ｒ(１－sin^２θ) のような関係になります。
そのような関係式を満たすｒとθの組み合わせの点の集まりが、ｙ＝ｘ^２で表される放物線と全く同じものを表すという事です。

尚、半径Ｒの円の式に極座標変換を当てはめると、ｒ＝Ｒという形の式になります。
（ｒは座標の目盛で、Ｒは何かしらの定数です。ｒ＝一定の値という事です。）

ｘ^２＋ｙ^２＝Ｒ^２にｘ＝ｒcosθとｙ＝ｒsinθを代入すると
ｒ^２cos^２θ＋ｒ^２sin^２θ＝Ｒ^２
⇔　ｒ^２(cos^２θ＋sin^２θ)＝Ｒ^２
⇔　ｒ^２＝Ｒ^２　⇔　(ｒ－Ｒ)(ｒ＋Ｒ)＝０
ｒとＲは正の数だからｒ＝Ｒ

このように極座標で表す利点があるかないかは、その時々によって異なります。一般的には、円とか球とか、そういったぐるりと１周回るものを考える時や、周期性のあるものを考える時に極座標を使う計算上の利点がある場合が多いかとは思います。

球面座標

次に、球面座標を考えてみましょう。考え方自体は、2次元平面での極座標と同じなのです。

θとφという２つの角度を使いますが、まずｚ座標から考えてみる事がポイントです。

まず「ｚ軸」「原点」「点（ｘ,ｙ,ｚ）」が作る角度をφとします。
そして、ｚ座標をｚ＝ｒcosφと表すのです。

次に、ｘｙ平面上で測った角度も必要になります。ｚ＝０での平面を考えて、この面でのｘ軸から測る角度をθとします。「ｘ軸」「原点」「球面上の点からの垂線の足（ｘ,ｙ）」が成す角をθとするという事です。

ここで、先ほどのφを使うと、原点から垂線の足までの距離はｒsinφになります。（余弦ではなく正弦になります。）

すると、ｘとｙは、「半径をｒsinφと見なした時」の平面の極座標と全く同じ考え方で表す事ができるというわけです。つまり、半径であるｒsinφに、それぞれcosθとsinθを掛ければよいという事です。

ｘ＝(ｒsinφ) cosθ ＝ｒsinφ cosθ,　ｙ＝(ｒsinφ) sinθ ＝ｒsinφ sinθ という事になり、球面座標への変換の式が完成するわけです。暗記しようと思うといかにも面倒な式ですが、図で見ると非常に単純なものを意味する式である事が分かるかと思います。

円柱座標

最後に、円柱座標についても見ておきます。これは、３次元空間の点を円柱の側面として座標を考えるという事ですが、実は発想は非常に単純です。

まず、円柱には必ず底面となる円がありますから、底面がｘｙ平面上にあるとすればｘとｙについては極座標と全く同じ式を使えます。

ではｚ座標はどうするのかというと、実は「何も変換しないでそのままｚの値を使う」というふうにします。ｚ＝ｚとするのです。この単純な発想を受け入れると、円柱座標は次のようになります。

実に単純である事が分かると思います。

このように、図も使ってシンプルに捉えれば難しいものではない事が理解できるでしょう。