投稿者: 恭平

電磁気学や流体力学、数学のベクトル解析の分野で、ガウスの発散定理と並んで重要な定理とも言えるストークスの定理について、その内容・使い方・証明を詳しく説明します。

ストークスの定理はベクトル場に対する数学上の定理です。
スートクスの公式と呼ばれる事もあります。

ストークスの定理とは？内容とイメージ

ストークスの定理は、ベクトル場の接線線積分と、ベクトル場の回転に対する法線面積分を等式で結びつける事ができるという数学上の定理です。その内容と証明について詳しく説明します。

定理の内容と表記

ベクトル場の変数ｘ、ｙ、ｚは独立変数で、ベクトル場の回転の計算（偏微分含む）もまずその条件下で行われます。次に、対象となる関数を積分する時点で曲面上あるいは曲線上という制約がつく…すなわちｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)といった形の式が一部の変数に代入されて互いに独立ではなくなるとします。

$$ベクトル場は\overrightarrow{F}=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))であるとします。$$

$$曲面S上でz=z(x,y)という制約がつく時は$$

$$F_1(x,y,z)=F_1(x,y,z(x,y))のように記す事にします。$$

のちの証明での計算のための注意点を挙げますと、ベクトル場の「回転」における偏微分は３変数ｘ，ｙ，ｚを独立変数として扱って計算をするものです。つまり、ｘで偏微分するならｙとｚは単純に定数扱いするという意味です。

それに対して、「曲面上のベクトル場」「曲線上のベクトル場」という条件が付くと３変数は独立では無く、曲面上であれば２変数だけが独立、曲線上であれば３変数とも従属関係という事になります。これが証明の１つにおける計算では重要になります。

積分の表記方法についての注記

ストークスの定理は、ガウスの発散定理と比較すると数学的な内容は少し込み入っています。

積分の表記方法は書籍などによって異なる事がありますが、この記事では数式の表現を明確にするために１つの表記方法に統一をします。

面積分の積分変数のプラスマイナスの符号の扱いについても表記方法をここで明確にしておきます。面積分の場合は表面と裏面とで面積要素ベクトルの向きが逆であり、つまり「プラスマイナスの符号が異なる」事になります。

図形的なイメージ

ストークスの定理の図形的なイメージは次のような感じです。

まずループ状に閉じた閉曲線 C があります。
その内側に膜が張ってあって、「閉曲面にはしない」という条件で任意の曲面の形に変形させる事ができるとします。
その時に「どんな形の曲面 S についてもストークスの定理の形の式が成立する」・・という事です。

では、開曲面Sには穴のような破れがあった場合はどうでしょうか。

実はその場合でもストークスの定理は成立します。穴を作る閉曲線と元の閉曲線を１本の線で結ぶと大きな１つの閉曲線が作られるためです。付け足してしまった線については、その線を向きだけが異なる２つの線が重なっていると考えるとその線上での接線線積分の合計は「プラスマイナスが打ち消して」ゼロになって積分の値に影響しません。

ただし、そのような場合には「穴」を構成する部分について接線線積分の向きを全体の接線線積分の向きに合わせる必要があります。例えば「穴」が１つだけある場合には元々の外側の接線線積分の向きが１つの方向から見て反時計回りであれば、内側の「穴」を作る閉曲線では逆向きの時計回りで考えないとストークスの定理は成立しません。

また「穴」がある場合の考察から、ストークスの定理は１つの閉曲線に対して任意の「分割」を行える事も理解できます。

曲面として「閉曲面」を考えてしまうとどうなる？

ストークスの定理において曲面は「開曲面」を考えます。

では、曲面として「閉曲面」を考えてしまうとどうなるのでしょうか？閉曲面とは球面のような閉じた曲面です。（トーラスのような図形も含めます。）

閉曲線Cを境にして２つの開曲面に分割すると、その両方に対してストークスの定理が成立します。簡単な図形的考察と計算によって、もし曲面の表側を閉曲面に対して一貫して「内側から外側に向かう向き」と決めるなら、「閉曲面全体を積分領域とした時の、ベクトル場の回転の法線面積分の値は必ず０になる」という別の公式が得られます。

証明その１：積分と偏微分の計算を直接進める方法

ストークスの定理を数学の解析学的に「厳密に」証明する方法もありますが、考え方が非常に複雑で物理学等への応用とのつながりも見えにくいものです。そこで、ここでは比較的シンプルに考える２つの証明方法を説明します。

証明時の偏微分の計算の扱い方

ストークスの定理の証明を考える時には偏微分の扱いに特に注意する必要があります。
例えば、「偏微分をしてできた偏導関数」を積分する場合には、ｘ、ｙ、ｚが独立変数であるという条件下で計算した偏導関数がまずあります。
ベクトル場の各成分であるスカラー関数についての偏微分です。
もしｙで偏微分するなら、ｘとｚは定数扱いになります。 $$F_1(x,y,z)に対して\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}F_1(x,y,z)=\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}$$ そのような偏導関数があるなかで、
特定の曲面Ｓ上での法線面積分を考える時に初めてｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)という従属関係ができます。
つまり、計算としては「偏微分を行った後の関数に対して、積分をする時点でｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)を代入する」といった形になります。

変数をどのように考えるのかを敢えて強調して書くなら、積分時には次のようになります。 $$偏導関数\frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z)に対してz=z(x,y)を代入して\hspace{5pt}\frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z(x,y))$$

他方、Ｆ_１(ｘ，ｙ，ｚ)に対して
「曲面S上にあるという条件」を初めから課すとします。
具体的には１つの変数がｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)という関数の形になり、
スカラー関数全体は Ｆ_１(ｘ，ｙ，ｚ(ｘ,ｙ))のように書けます。
そこで例えばｙによる偏微分を行うとどうなるでしょうか？
この場合には、先ほどの場合とは計算結果が変わるのです。
偏導関数は異なる形になるのです。
その場合には、ｙの変化によるＦ_１の第３成分（ｚ成分）の変化も生じ、
それによるＦ_１全体の変化も変わってしまうという事です。
しかし、実はその事がまさにストークスの定理の数式的な意味の１つになっています。

分かりやすくするために、具体的なスカラー関数をてきとうに考えてみます。

例えばＦ(x,y,z) ＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２であったとしましょう。３変数が互いに独立なら、これを例えばｙで偏微分すれば偏導関数は２ｙになります。ｘとｚは定数扱いです。

それに対して、同じ関数に対してｚ＝３ｙという条件がついたとしましょう。この時にはＦ(x,y,z) ＝Ｆ(x,y,z(y))＝ｘ^２＋ｙ^２＋(３ｙ)^２＝ｘ^２＋１０ｙ^２ですから、ｙで偏微分すれば偏導関数は２０ｙになりますから全く異なる結果です。その違いが生じるのは、ｚ＝３ｙという条件によりｙを変化させるとｚも変化するためです。その違いが計算結果に現れます。

合成関数の偏微分公式で考えても同じになります。
ｚ＝３ｙという条件下ではＦ(x,y,z)を偏微分すると次のようになります。

$$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}F(x,y,z(y))$$

$$=\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(y)}{\partial y}$$

$$=\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial }{\partial y}(3y)$$

$$=2y+2z\cdot 3=2y+2\cdot 3y\cdot 3y=2y+18y=20y$$

この式で、Ｆ(x, y, z) と書いた部分は３変数が互いに独立である場合の関数という意味です。その部分においては、ｙで偏微分するならｘとｚは定数扱いになるという事です。

スカラー関数の線積分の計算

ベクトル場の第１成分（ｘ成分）であるＦ_１(ｘ，ｙ，ｚ)を考えます。これはスカラー関数で、スカラー場とみなせます。まず、接線線積分において内積をとってスカラー場の線積分の形にした積分についてまず考えます。

閉曲線Cは凹凸のない形状を考え、閉曲面Ｓはｘｙ平面上の１点に対してｚ座標が１つ決まるような形状で、表側の面からの法線ベクトルはｚ軸のプラス方向の向きに対して鋭角になるものとします。

次に曲面の「ｘｙ平面への射影」を考えます。これは積分領域の射影を考えるのであって、ベクトル場の射影（つまりｚ成分を無視する）では無い事に注意。

ベクトル場に関しては、ｚに対して「積分領域の曲面の式」であるｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)を代入する事で見かけ上ｚを消去します。のちに偏微分の計算をする時にはこのｚの式は重要になってきます。

具体的な定積分（１変数の定積分）を考えようとする時、全体の射影された積分の経路に対してｘについての異なる形の２つの関数が必ず存在します。これは、元々の曲線として必ず「閉曲線」を考えるためです。

ｘｙ平面で考えると、「上半分」と「下半分」に分かれる事になります。

ここでは経路を表す曲線を表す関数に対して、
ｘｙ平面上で見た閉曲線の上半分を表す場合には添え字のＵ、
下半分を表す場合には添え字のLをつける事にします。
また、射影されたｘｙ平面上の閉曲線をC_ｘｙ（ベクトル場の第１成分 F₁ を F_1xy(x,y,z(xy)) とします。）
その上半分の経路をＣ_ｘＵ（そこではF₁ を F_1xyU(x,y,z(xy)) とします）
下半分の経路をＣ_ｘＬ（そこではF₁ を F_1xyL(x,y,z(xy)) とします）
という名前にしておきます。
積分変数ｘの積分区間は [a, b] （＝Ｃ_ｘＰ）であるとして、線積分を行う時には反時計回りに回るようにして「行き」と「帰り」があるので往復を考えた便宜的な長方形状の経路をＣ_ｘＰＲとしてます。

• C_xy：閉曲線 C をｘｙ平面上に射影してできた閉曲線上　F₁ ＝F_1xy
• C_xU：閉曲線C_xyの「上半分」（積分の方向は b→a）F₁ ＝F_1xyU
• C_xL：閉曲線C_xyの「下半分」（積分の方向は a→b）F₁ ＝F_1xyL
• C_xP：ｘに関する積分区間 [a, b] （閉曲線C_xyのｘ軸への射影）

ストークスの定理においては「閉曲線内」も計算上考えますが、その場合も平面（例えばｘとｙ）の位置における「閉曲面上」のベクトル場だけを考えます。そのため、元々のベクトル場F1（ｘ，ｙ，ｚ）において互いに独立になり得る変数は１つだけです。最初に想定した曲面の形では例えばｘｙ平面上の点を指定すればｚの値も定まるので、曲面上の値を考える時にはF₁＝F₁（ｘ，ｙ，ｚ（ｚ，ｙ））の形になっています。
偏微分の計算上、３変数を独立したものとして扱う場合にはF₁＝F₁（ｘ，ｙ，ｚ）と書く事にします。

現在考えている条件下では、ｘｙ平面を上から見て反時計回りに回る方向が接線線積分の向きです。
そのため、閉曲線Ｃをｘｙ平面に射影した曲線の下側が「ｘが増加する向きで積分する部分」であり、
上半分側が「ｘが減少する向きで積分する部分」になります。

まずはｘｙ平面で考えるわけですが、１変数による線積分を行う場合に限っていえば積分変数がｘであればｘｚ平面への射影でも同じ事になります。つまり３次元空間内に閉曲線がある時、積分経路としては元の閉曲線が指定されていれば１変数の線積分の積分区間は確定します。そのため、１変数の線積分の積分経路に関しては統一的に元の閉曲線Ｃで表記する事にします。

$$\int_{Cxy} F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx=\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx$$

次に、開曲面Sに対して、ｘｙ平面上でｚ＝（ｘ，ｙ）と考えます。
さらにｘ軸上の区間では曲線の「上半分」と「下半分」に分ければそれぞれに対してｙ＝ｙ（ｘ）の関係を考える事はできますからベクトル場の第１成分Ｆ_１はｘだけの式で表現できる事になります。

「上半分」と「下半分」でｙ＝ｙ（ｘ）の式の形も違いますから
それを強調してここでは上半分に関してはｙ＝ｙ_U（ｘ）などと書き、
下半分に関してはｙ＝ｙ_L（ｘ）のように書く事にします。

$$\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx$$

$$=\int_a^bF_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))dx+\int_b^aF_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))dx$$

$$=\int_a^bF_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))dx-\int_a^bF_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))dx$$

$$=-\int_a^b\left(F_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))-F_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))\right)dx$$

積分区間をa→bの向きに統一して１つの積分記号に収めて、次の計算のために「上半分」のほうが前に来るように順序を変えています。

閉曲線としてまとめて積分経路を考えている時（ここで言えばC_ｘｙなど）には積分の方向が変わる時点でｘの関数としての形も変わるものとして考えています。

「偏導関数の定積分」を考える

次に積分の中身で差の形になっている部分を、引き算の形である事に注目して
ｙに関する偏微分を使った「偏導関数の定積分」で表す事を考えます。
（※「偏微分の定積分」と言っても同じ意味になりますが、ここでは関数である事を強調して「偏導関数の…」と表現しています。）

発想的にはガウスの発散定理での証明と同じになります。

数式の意味が分かっていれば省略可能ですが「ｘだけの関数」と「互いに独立であるｘとｙが変数の関数」である事を区別するために、ここでは前者の場合のアルファベットをキャピタルで、後者を小文字で書く事にします。
つまりF_1xyU(x,y(x),z(x))＝f_1xyU(x,y,z(x,y))であり、F_1xyL(x,y(x),z(x))＝f_1xyL(x,y,z(x,y)) であるとします。

さきほど計算を進めた積分の中身だけで考えると次のようになります。積分区間はそれぞれのｘによって定まる２つのｙなので、便宜的にY₁（ｘ）からY₂（ｘ）までであるとします。ｙが閉曲線の内部を動く事になり、そこではＦ_１＝F_1ｘｙS（ｘ，ｙ，ｚ（ｘ，ｙ））と書く事にします。

$$【前述の式の積分の中身】F_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))-F_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))$$

$$=\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}\left\{f_{1xyU}(x,y,z_U(x,y))-f_{1xyL}(x,y,z_L(x,y))\right\}dy$$

$$=\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}F_1(x,y,z_(x,y))dy$$

※ここでのｙによる積分の計算は、閉曲線上ではなく「閉曲線の内側」を横断する形です。
（ただしベクトル場は曲面上にあります。）
ｙの値によって変化するＦ_１を積分するので。ｘとｙは従属では無く独立の関係です。ｘによって定まるのは「ｙによる積分区間の端点」だけになります。積分変数はあくまでｙですから、定積分の値を直接計算するならｘとｚを定数扱いにしてｙで偏微分したのちｚにｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）を代入して計算し、定積分の値の結果は「ｘだけの関数」という事になります。

これを、既に導出している線積分の計算式に当てはめます。最初の式から考えて書き直し計算を進めると、次のようになります。偏微分の計算および面積要素の変換公式を使用します。
【偏微分については、ここではF₁(ｘ，ｙ，ｚ)のように書かれていたら３変数を独立変数的に扱うものと考えます。つまりｙで偏微分するなら残りの変数は定数扱いという意味での計算式になります。】

$$\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x))dx$$

$$=-\int_a^b\left(\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}F_1(x,y,z(x,y))dy)\right)dx$$

$$=-\int_a^b\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\left(\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$$

$$=-\int_{Sxy}\left(\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}\right)ds_z$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z -\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}ds_z$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z +\int_{Sxz}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}ds_y【∵面積要素の変換公式】$$

ここで使った面積要素の変換公式はあまり使う機会のない公式ですが次のような形のものです。【※重積分の変数変換の公式とは別物なので注意。】

$$面積要素の変換公式：ds_y=-\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}ds_z$$

ｘｙ平面とｘｚ平面の面積要素がこの式に従って１対１に対応するので積分領域もｘｙ平面からｘｚ平面に移る事になります。

まとめると次のようになります。

$$\int_C F_1(x,y(x),z(x))dx$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z +\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}ds_y$$

これは、接線線積分の側から見た時の内積の項の１つを表す式になっています。同様の手順でｙとｚによる線積分からも同様の結果が得られ、全て加え合わせる事でここでの閉曲面の設定におけるストークスの定理が導出されます。

証明の計算の流れのまとめを図示すると次のようになります。

この証明では積分の領域は開曲面Sに依存するのではなく、閉曲線Cに依存するものとなっています。しかも、より正確には閉曲線Cのｘｙ平面等への「射影」の領域に依存しています。つまり定理において開曲面Sの形状は任意でよい事も示せています。

曲面が変化すればその曲面上のベクトル場の具体的な関数形は当然一般的には変化しますが、式の形自体は閉曲線Cの形状に縛られず自由であるという事になります。（最初は変数に従属関係があったのが、最後はあたかも独立変数として扱う計算となったのはこの事に関係があります。）

もちろんここではまだ特定のタイプの曲面に限っての話です。次に、開曲面がここで考察したもの以外の別の形状でも成立する事を見ます。

曲面の形状が変わった時

では、閉曲面Sが最初に設定したもの以外の場合はどうでしょうか。

まず、「開曲面Sの表裏が入れ替わった場合」です。

その場合、まず接線線積分の積分方向が逆回りになるので、内積で分解した時の線積分も計算結果の符号が入れ替わったものになります。

他方でその場合には例えばｘｙ平面への射影を考える時に、元々は曲面Sの１つの方向から出る法線ベクトルが逆向きになります。つまり、元々がｄｓ_ｚ＝＋ｄｘｄｙであれば、曲面の裏表を入れ替えた時にはｄｓ_ｚ＝－ｄｘｄｙという変換になります。

すると前述の証明と比較した場合、証明の過程で符号の反転が２回起こるので、「結果は同じになる」という事になります。

また、先に「穴がある場合」でも定理が成立する事は既に見ましたが、そこで考察した分割の方法によって、曲面が任意の形状であっても既に証明済みのタイプに細かく分割して積分値を合計する事で定理が成立する事を示せます。

じゅうたんを折り畳んだような複雑な曲面によって、面積要素ベクトルが他の場所と符号が変わる場合も定理は成立します。この場合には面積要素ベクトルは依然として「表」から出ている事にはなりますが、分割をすると裏表を変えた時のように接線線積分の向きが逆になる事が分かります。従って、裏表を変えた時と同様に定理は成立します。

証明その2：微小長方形領域で回転を計算する方法

別の証明方法として、ベクトル場の「回転」をより図形的な回転のイメージに合わせたやり方があります。

この方法では閉曲線のｘｙ平面等への射影領域を、軸に平行な線でメッシュのように「細かい長方形に分割する事」で証明を行います。ただし、それは斜めの線を長方形に強引に近似できるという意味ではありません。そうではなくて、接線線積分や法線面積分の内積を利用した計算によって「結果的に長方形領域の組み合わせで計算ができる」という事です。

まず最初に、少し奇妙に思えるかもしれませんが閉曲線のｘｙ平面を最初にメッシュ状に細かく分割してしまって、それから１つの微小な長方形領域ΔCに対してベクトル場との「接線線積分を行うかのような和」を考えます。つまり、積分の方向を決めたうえで各辺をベクトルと考えた時のベクトル場との内積をとり、合計するという事です。ただし、微小領域なので１つの辺につきベクトル場の値は１つだけで代表できると考えます。

この時に、ベクトル場は３成分ともｘ，ｙ，ｚのプラスの方向を向いている条件であるとします。すると、長方形領域ΔCはｘｙ平面上の図形であるわけですからｚ成分は０です。さらには軸に平行な線で作られた長方形ですから辺をベクトルとみなせば成分はｘ成分のみかy成分のみという事になります。

長方形領域ΔＣ辺の長さをｄｘとｄｙとすると、
４つの「接線ベクトル」はｚ成分を省略してそれぞれ
（ｄｘ，０），（０，ｄｙ），（－ｄｘ，０），（０，－ｄｙ）です。
長方形の左端にベクトル場があって、微小の長さを進んで偏微分を使った一次近似の量だけ増えるものとします。少し奇妙なようですが、ベクトル場との内積をとって合計すると次のようになります。

$$\oint_{\Delta C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=F_1dx+\left(F_2+\frac{\partial F_2}{\partial x}dx\right)dy-\left(F_1+\frac{\partial F_1}{\partial x}dy\right)-F_2dy$$

$$=\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial x}\right)dxdy=\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)_3dxdy$$

$$\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)_3はベクトル場の回転の第３成分$$

つまり、回転するように「接線線積分もどき」のようなものを考えると、「ベクトル場の回転」の成分（ここでは第３成分）に面積要素を乗じた量になったわけです。このように最初から「回転のイメージ」が現れるところが先ほどの証明方法と異なる点です。

ｘとｙについて積分すれば、ベクトル場の回転の法線面積分の第３成分を得ます。同様の方法で残りの成分も得る事ができます。それで、ストークスの定理の法線面積分側の式ができあがるわけです。

$$３成分について積分して合計すると\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}を得る。$$

さてそれでは接線線積分側はどうでしょうか。

メッシュ状に細かく分割した長方形に対してさきほどの式を合計すると、隣り合う辺においては値が打ち消し合って消えます。領域の分割の逆のパターンで、積分する領域の合成が行われるわけです。

すると、長方形を全部合成すると外部の周に相当する部分だけが残ります。これで接線線積分を内積計算した時の１変数の線積分が出てきます。

しかし、じつは単純に計算するとｘｙ平面に対してｘの線積分とｙの線積分が生じて、ｘｚ平面でもｘの線積分とｚの線積分の両方が生じてしまい謎の「過剰な量」が出てきてしまいます。

ですが注意深く見てみると、ｘの線積分を行う場所は合計で４箇所できますがそのうちの２つは「同じ線分上で向きだけが異なる線積分」となるので合計すると０になります。そして残り２つで、ｘに関する線積分の「行き」と「帰り」を表現できているのです。

つまり、一見すると線積分の項が６つできて往復を考えると１２項ができてしまいますが半分は打ち消して０になるので１変数の線積分の項が３つでそれぞれに積分区間の往復がある形になります。これで接線線積分側の式も得られてストークスの定理を導出できる事になります。

$$\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxz}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$$

$$=\int_CF_1dx+\int_CF_2dy+\int_CF_3dz=\oint_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$$

$$\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxz}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}により$$

$$\oint_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$

設定した形状のタイプ以外の開曲面に対しても成立する事を調べるのは最初の証明と同じです。この２番目の証明では、閉曲線Cの射影となる領域だけで考えて定理を導出しています。言い換えると必要な射影を与える開曲面であれば形状は任意でも定理が成立するので１つの閉曲線を外縁とする開曲面は任意で良いという事になります。

積分変数としての面積要素ｄSと、ｘ、ｙ、ｚで積分した時に使うｄｘ、ｄｙ、ｄｚを偏微分を使って結びつける公式について説明します。
積分変数に関する公式ですからもちろん積分に関係しますが、ベクトルとも関連します。
この公式はやや特殊で、使われる場面はベクトル解析の分野のごく一部分に限定されるとも言えます。しかし特定の定理の証明・考察において重要である場合があるので、詳しく解説しておきます。

■より初歩的な内容（内部リンク）：

• ベクトルの考え方：スカラーとの違い（ベクトルの初歩事項の解説）
• 偏微分の定義と公式（このページの公式中で使います。）
• 外積ベクトルの定義と公式（「クロス積」「ベクトル積」とも。知っておくと便利です。）
• 積分の考え方と基本計算（１変数の積分の具体例です。）

面積要素とは

法線面積分においては曲面上の微小な領域に対する法線ベクトルを考えて、その法線ベクトルの大きさはその微小領域の面積であるとします。
そして、その面積にプラスマイナスの符号があると考えた量を特に面積要素（あるいは面積元素）と呼ぶ事があります。面積要素はｄＳなどの記号で書かれます。

法線面積分の計算を進める時には、内積を計算する形で成分ごとに分解した積分を考える事がありますが、その時に考える「スカラー場に対して、ｙｚ平面、ｘｚ平面、ｘｙ平面内の領域の面積要素を積分変数とする」形の積分を単に「面積分」と呼ぶ事もあります。

変換の公式

面積要素ｄSと、面積要素ベクトルの成分ｄｓ_ｘ、ｄｓ_ｙ、ｄｓ_ｚの間には実は変換の公式が存在し、それは曲面を表す関数に対する偏微分を使って表されます。

今、曲面を表す関数としてｚがｚ＝ｇ(ｘ，ｙ)のような形で表されているとします。（これはベクトル場の成分を表す関数ではなくて、曲面を表す式です。）

上記の式を組み合わせて、ｄｓ_ｙとｄｓ_ｘについても面積要素ｄＳとの関係式を作る事が可能です。

これらは決して使いやすい形の公式とは言えないかとは思いますが、ベクトル解析における特定の定理の証明等で使える場合もあります。

また、ｄｓ_ｘ／ｄＳ，ｄｓ_ｙ／ｄＳ，ｄｓ_ｚ／ｄＳは図形的に余弦とみなす事ができて、方向余弦とも呼ばれます。（方向余弦は面積要素ベクトルに対してだけでなく、ベクトル一般に対して考える事ができます。）これらの面積要素ベクトルの方向余弦は、分割の方法を合わせるという前提のもとで上記の公式中の係数で表す事ができます。

※余弦とは三角関数の「コーサイン」「cos」の事です。

公式の導出および証明

上記の公式の証明においてはベクトル場の事は考えず、曲面の事だけを考えます。

面積要素と、面積要素ベクトルの第３成分との関係式の証明

曲面Ｓの領域の分割が、ｘｙ平面への射影を考えた時に辺がx軸とy軸に平行な長方形になるように考えます。曲面の外周部分に関しては長方形を対角線で区切った直角三角形を考えます。

この時に分割された各領域は、１つの共有点を始点（原点と考えます）に持つｘｚ平面上のベクトルと、ｙｚ平面上のベクトルを２辺として構成されていると考える事ができます。

それらの２つのベクトルを \(\overrightarrow{a}\) および \(\overrightarrow{b}\) とおきます。
（位置関係は、ｄｘとｄｙの符号がともにプラスである時に外積ベクトルがｚ軸のプラス方向を向くようにします。その側が面の表側で、面積要素ベクトルが出る側として考えます。）
今、曲面の各点のｚ座標はｚ＝ｇ(ｘ，ｙ)のような関数で表せる事に注意すると、
２つのベクトルはｚに対するｘとｙでの偏微分を使って表せます。
\(\overrightarrow{a}\) の（終点の）ｘ座標をｄｘとして、\(\overrightarrow{b}\) のｙ座標をｄｙとすると、次のように書けます。

$$\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)$$

この時にこれら２つのベクトルにより構成される平行四辺形の面積（|ｄＳ|に等しい）は、公式を使って次のように表されます。対角線で区切った三角形の面積ならその半分になります。

$$dS=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

$$|ds|=\sqrt{ \left\{dx^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2dx^2\right\} \left\{dy^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dy^2\right\} -\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dx^2dy^2 }$$

【平方根の中の２つの項がちょうど同じ値で引き算されて０になります。】

$$=\sqrt{dx^2dy^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、平方根の中のｄｘｄｙについて２乗した形が共通してどの項にもあるのでｄｘｄｙを平方根の外に出す事もできますが、敢えてひとまずこのままにしておきます。

面積要素ベクトルの第３成分（ｚ成分）のｄｓ_ｚの絶対値は、微小領域をｘｙ平面に射影した領域の面積になります。【その証明は外積ベクトルの定義からの計算と、平面上のベクトルを使った平行四辺形の面積公式から行います。】

今、微小領域をｘｙ平面に射影すると長方形になるように分割を考えています。
よって、|ｄｓ_ｚ| ＝ |ｄｘｄｙ| と書けます。【外積ベクトルのｚ成分を考えても同じ事です。】
すると ｄｓ_ｚ^２ ＝ ｄｘ^２ｄｙ^２ という事にもなるので、
これをさきほどの計算式に代入します。

$$|dS|=\sqrt{ds_z^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、ｄｓ_ｚはプラスとマイナスの両方の符号の場合があり得ます。これは図形的には、実は単純な話です。面積要素ベクトルがｚ軸のプラス方向側に向いていればそのｚ成分であるｄｓ_ｚの符号もプラスで、逆に面積要素ベクトルがｚ軸のマイナス方向側に向いていればそのｚ成分であるｄｓ_ｚの符号もマイナスという事になります。

すると、上式ではｄｓ_ｚを平方根の外に出す事ができますが、それが式の右辺のプラスマイナスの符号を決める唯一の量になります。よって、面積要素ｄＳの符号はｄｓ_ｚによって決定する事になります。式で書けば次のようになります。これで証明完了です。

$$dS=ds_z\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

面積要素ベクトルの第１成分と第２成分についての式の証明

次に、面積要素ベクトルの第１成分（ｘ成分）と第２成分についての式も考えます。

それらを表すには外積ベクトルとして成分を計算したほうが簡単で、次のようになります。

$$再度記すと\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)としているので、$$

$$ds_x=0\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy- \frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial x}$$

ここで、先ほどの証明の最後で触れましたが面積要素ベクトルを外積ベクトルとして表した場合には符号まで一致してｄｓ_ｚ＝ｄｘｄｙと表す事ができるので、それをそのまま代入する事ができます。すると次のようになって、示すべき式が得られます。

$$ds_x=-\frac{\partial z}{\partial x}ds_z$$

面積要素ベクトルの第２成分についても同様に、
外積ベクトルの成分として計算すると次のように示すべき式を得ます。

$$ds_y=\frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot 0\hspace{3pt} – dx\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial y}$$

$$よって、ds_y=-\frac{\partial z}{\partial y}ds_z$$

この面積要素の変換公式は、ストークスの定理に対する証明の１つの過程で使用する事ができます。

線積分という言葉は、ベクトル場に対する接線線積分と、スカラー場に対する線積分の両方に対して使われます。ここでは、スカラー場に対する線積分についての定義と積分の考え方について説明します。

接線線積分と同様に、スカラー場に対する線積分も電磁気学等での理論計算に使われます。

接線線積分の内積計算を行う過程で、
座標変数であるｘ、ｙ、ｚを積分変数とする線積分を考える事もあります。

基本的な考え方

スカラー場 f(x, y, z) に対する「線積分」の基本的な考え方は、次のようになります。

積分変数となる変数は弧長（曲線の長さ）であるとする場合と、
ｘ，ｙ，ｚの座標成分である場合があります。
どちらの場合でも線積分という語が使われる事が一般的です。
ただし、後述しますように両者で積分方向と積分の符号に関する規定に相違点があります。

積分変数が弧長の場合

積分変数が弧長である場合には、積分経路が曲線上の点Pから点Qまでの経路である時に、点Pにおいて弧長が０、点Qにおいてある長さLであるとして積分を行います。

弧長とは「曲線の長さ」の事です。基本的に、折れ線で近似した時の極限値を指しています。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x,y,z)dl$$

ただし、右辺のように表して具体的に原始関数を探して計算するといった場合には、後述するようにスカラー場は \(l\) の関数の形になっている必要があります。

弧長を表す文字としては、ｓやｔが使われる事もあります。

この時に弧長は点Pから測って決めているので、
同じスカラー場に対して点Pからではなくて
「点Qから線積分を行う場合」には、積分全体の符号が変わります。
積分の向きと積分全体の符号の関係の考え方は、接線線積分の場合と同様になっています。

$$\int_{QP}f(x,y,z)dl=\int_L^0A(x,y,z)dl=-\int_0^Lf(x,y,z)dl=-\int_{PQ}f(x,y,z)dl$$

このように書けるわけですが、
線積分を具体的な定積分として計算する場合にはｘ、ｙ、ｚが弧長を変数とした関数で表されている事が必要な場合が多いです。
すなわち、指定された曲線上の経路では特定の点からの弧長によって点が一意に確定するわけですから、具体的に容易に書けるかは別問題として、理論上は座標変数を弧長の１変数関数として表せるはずであるという事です。

$$x=x(l), \hspace{5pt}y=y(l),\hspace{5pt}z=z(l)\hspace{5pt}であれば$$

$$f(x,y,z)=f(x(l),y(l),z(l))となり、$$

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x(l),y(l),z(l))dlとして計算可能になる場合もあります。$$

積分変数が座標変数の場合

積分変数が座標変数ｘ、ｙ、ｚの場合でも、曲線を経路とする積分を指して「線積分」と呼びます。
この場合には、弧長を変数とする場合やベクトル場に対する接線線積分とは少し考え方が変わります。

まず、積分変数がｘの場合を考えてみます。ｙやｚに対しても考え方は同じです。

積分の元々の和としての定義を考えてみると、積分変数をｘとするという事は「対象となる関数の値と分割された区間の長さΔｘとの積」を合計して極限値をとるはずであり、実際その場合の線積分もそのように定義されるのです。

つまり、曲線上の各点において「曲線の分割された（微小な）経路分のｘ軸への射影」を考えてスカラー場との積を合計して積分するといった形になります。

$$積分変数がxの場合の線積分の表記：\int_{PQ}f(x,y,z)dx$$

ただし、具体的にｘに関する原始関数を探して定積分したい場合には、ｙとｚがｘだけの関数で表されている必要があります。

$$具体的な計算をするには、y=y(x),\hspace{5pt}z=z(x)\hspace{5pt}として表されて、$$

$$\int_{PQ}f(x,y(x),z(x))dxの形にする必要があります。$$

この時に、曲線の形状によっては単純に１つの積分区間でのｘによる定積分としては書けない場合があり、積分をいくつかに分割する必要がある場合があります。

例えば円等の閉曲線では、ある所まではｘが増加するように曲線が進んでいき、あるところで逆にｘが減少する方向に曲がる事になります。ｘが減少する方向に積分していく場合には積分の符号も逆向きになりますが、それは通常の１変数の定積分の考え方で符号を考えればよい事になります。

その場合には例えばPQの間にいくつかの適切な点、
例えばAやBを決めて次のように積分を分割します。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PA}f(x,y,z)dx+\int_{AB}f(x,y,z)dx+\int_{BQ}f(x,y,z)dx$$

この時に、例えばP→Aまではｘが増加する方向で、Ａ→Ｂはｘが減少する方向、Ｂ→Ｑで再びｘが増加する方向であるなら、ｙとｚがｘの関数として表されている前提で、各点のｘ座標を使って線積分は次のようにも書けます。

具体例としてPのｘ座標が０、Ａのｘ座標が３、Ｂのｘ座標が１、Ｑのx座標が５である場合で線積分を書いてみます。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_0^3f(x,y,z)dx+\int_3^1f(x,y,z)dx+\int_1^5f(x,y,z)dx$$

この例の右辺の２項目の定積分は、通常のｘが増える方向へのｘ＝１からｘ＝３までの定積分とは符号が逆向きになっているわけです。

$$\int_3^1f(x)dx=-\int_1^3f(x)dx\hspace{5pt}です。$$

これらの符号の扱いについては、分割された区間の（微小な）長さΔｘについて、プラスとマイナスの符号を持っていると解釈して定義しておく方法も存在します。

弧長と座標成分の、余弦を使った積分変数の変換

曲線上で積分する方向（弧長が０から何かの値Lまで伸びる方向）を決めたうえで、
「曲線上の各点の接線ベクトルと座標軸のなす角\(\theta\)」の余弦を考えると、
弧長と座標変数との関係を余弦で結ぶ事ができます。

$$角度を\theta として、例えばdx=ds\cos\theta$$

考えているこの角度\(\theta\)は一般的に当然一定値ではなくて曲線上の位置によって異なりますから、
それを明確にするなら例えば \(\theta (l)\) のように書くことになります。

このような考え方は、
積分変数を「座標成分から弧長に変換する」ような場合に使う事になります。

$$例えば、\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PQ}f(x,y,z)\cos(\theta (l))ds$$

この時に、ｘで線積分するのであれば、曲線の形状によっては
通常のｘが増加する向きでの積分に対して符号を入れ替える必要も出てくるわけですが、
弧長を積分変数とする場合には、
点Ｐ→点Ｑに向かう経路である限り一貫して弧長が増加していく方向で積分が行われます。
そこで、上記の余弦を乗じる事によって符号も一致するように調整されるという事になるわけです。

ｘ、ｙ、ｚを積分変数とするスカラー場に対する線積分は、ベクトル場に対する接線線積分のように内積を計算する事はありませんが、弧長を変数とする場合のスカラー場の線積分からの変換と考える場合には分割した積分の符号の扱いに関しては内積の符号の扱いと同じ考え方をしています。